_ どのように「アタシだけのヒト」と確信するのか、ベイズ的に考えてみた

みなさん、こんばんは。「アタシだけのヒト」みつかりましたか？天丼です。完全に「定番の挨拶」として流行らせようとしてますね。

いや、なかなかみつからないものですね、僕なんかはもうそろそろ探索範囲を広げてみようと考えていますよ。2次元の世界あたりはどうでしょうか? 3次元より狭いので探索空間はぐっと狭くなります、これは良いアイディアです。次元を落すのは高次元のデータ解析の基本ですからね。

さてそもそも「アタシだけのヒト」とはどんなヒト? きっと自分に対して誠実なひとなのではないか? と私は考えました。誠実が服を脱いで歩いていると巷で評判の私の言うことなので、どうかと思いますが、今日はそういうことにして、この問題についてベイズ的に考えてみます。

誠実なヒトは、約束を守るヒトです。アナタからみてアノヒトは

• 約束を守る性格
• 約束を破る性格

のどちからを取ります。また、アナタは

• 約束を守られる
• 約束を破られる

のどちらかを体験します。

このとき、アノヒトが「約束を守るひとである、と確信していく 」= 「アタシだけのヒトであると確信していく」様子をベイズの定理とベイズ更新 (bayes updating) を使ってシミュレーションしています。その筋では reputation とか呼ばれている話です。

設定

まず誠実なヒトを定義しましょう。

• 誠実: 約束を10回のうち8回まで守る
• 不実: 約束を10回のうち3回しか守らない

誠実なヒトでも失敗もありますので8/10ということにします。マザーテレサも「愛したいなら許すことを知れ」的なことを言っていますしね。逆に不実のひととは3/10とします、嫌なやつです。

アタシだけのヒトも定義します。

• 確信が0.9以上になったら「アタシだけのヒト」
• 確信が0.1以下になったら「アタシだけのヒトじゃない」

このように決断することにします。肝心の確信 (belief) の度合いですが、これは

• P(性格)が事前確率
• P(約束|性格)が尤度関数

としたときの事後確率P(性格|約束)が確信度になります。t回目の約束のときにはt-1の事後確率を事前確率として使うことで確率を更新していきます。これがベイズ更新です。tDiaryで数式書く設定してないので、コードみてください(あとで追記するかも)

シミュレーション

さて、アノヒトと100回ほど約束をします。そのたびに「アタシだけのヒト」であるという「確信」がどう移り変わるでしょうか?

ここでは、仮にアノヒトは7/10の割合で約束を守る人だとしましょう。でもあなたはこれを知りえないので、実際に約束をしてみて、経験から確信度を変化させてみるわけですね。

結果

第一印象がニュートラルだった場合のシナリオ

もし最初の約束をしたときに、「アタシだけのヒト確信度」が五分五分だと思っているとします。以下のグラフの黒い線が確信の変化です。平均して20回ぐらい約束を繰り返してみて、「アタシだけのヒト」と確信しています。この線は、何度も人生をやりなおしみて、その平均を見ています。1000回生れ変わった設定です。灰色の線は1回ごとのシナリオを示しています。セーブしておいてそこから何度も始めてみた、という感じです。bad end になったシナリオがいくつかありますね。

性悪説、初対面の印象が悪い、こいつはないないwww みたいなシナリオ

確信度が2/10 から始めてみます。32回目にしてやっと確信していますね。また dead end なシナリオも増えています。第一印象重要!!! 第一印象最悪でも最後はくっつく、みたいなおいしい話はアニメでは良く聞くのに、なぜか僕がそのようなめに会わないのもわかります。でも本当に良いひとだったらねばる価値はありそうですね。また確信が形成されるまでの間に、灰色の線が暴れています。この期間のみかけ確信度が高いところで決断してしまうと、判断すると見誤ることが可能性が出てきますね。

「嘘をつく悪いアノヒトに一目惚れ、ダメなヒトほど愛しちゃう」シナリオ

4.5/10回の嘘つきに、最初の確信度0.8で一目惚れです。4.5ってところがアメとムチな感じでやらしいです。

平均して50回の約束ぐらいでゆっくりと気付くのですが、個別のシナリオ、つまり灰色の線をみると暴れまくりです。速攻バレてます。まあ、ずるずると付き合ってしまう、みたいなシナリオもないことないようですがレアのようです。これもお話の世界だけなのでしょうかね。ちなみに5.5回の嘘つきさんだと100回約束の間には「アタシだけのヒトじゃない」という決断には至りませんでした、やらしいですね。

おわりに

全体を通して面白いのは一度確信に至ると決断が変わらないことが多いようです。この現象は、ウォールステッターさんという国際政治学者が cry-wolf syndrome と呼び、真珠湾攻撃、キューバ危機のような政治的誤算が生じる理由として議論したそうです。

まあ、わーわー言いましたが、そもそも相手が自分のことを「アタシだけのヒト」だと確信してくれるかどうかは、また別の話ですけどね! 仮に誠実と思われても「良い人」どまりってこともあるし。ままならね〜

以下、Rのコードを載せておきます (つづく...かもしれない)。こなれてないコードですが...

rm(list=ls())                                                                   
                                                                                
wolfboy <- function (p, simNum, w0, true_prob) {                                
                                                                                
  w <- rep(0, simNum)                                                           
  z <- rep(0, simNum)                                                           
  w[1] <- w0                                                                    
                                                                                
  for ( i in 2:simNum ) {                                                       
    z[i] <- ifelse( runif(1) > true_prob, 1, 0 )                                
    #cat(i, z, "\n")                                                            
    if (z[i] == 0) {                                                            
      w[i] <- (w[i-1]*p[1,1]) / ( w[i-1]*p[1,1] + (1-w[i-1])*p[2,1] )           
    } else {                                                                    
      w[i] <- (w[i-1]*p[1,2]) / ( w[i-1]*p[1,2] + (1-w[i-1])*p[2,2] )           
    }                                                                           
  }                                                                             
  return(w)                                                                     
}                                                                               
                                                                                
simNum <- 100                                                                   
                                                                                
# def honest man                                                                
p <- matrix(c(8/10, 2/10, 3/10, 7/10), nrow=2, byrow=T)                         
threshold.heaven <- 0.9                                                         
threshold.hell   <- 0.1                                                         
                                                                                
# your mind                                                                     
w0 <- 0.5                                                                       
#w0 <- 0.2                                                                      
#w0 <- 0.8                                                                      
                                                                                
# man                                                                           
true_prob <- 0.7                                                                
#true_prob <- 0.45
                                                                                
# sim.                                                                          
ws <- replicate( 1000, wolfboy(p, simNum, w0, true_prob) )                      
w.mean <- rowMeans(ws)                                                          
pass.index <- max( which(w.mean <= threshold.heaven) )                          
cat(pass.index, "\n")                                                           
                                                                                
# plot                                                                          
png("wolf.png")                                                                 
matplot(1:100, ws[,1:30], type="l", col="gray", ylim=c(0,1),                    
        xlab="num. of date", ylab="Prob. of honest")                            
lines(w.mean, type="l", col="black")                                            
abline(h=threshold.heaven,  col="red")                                          
abline(h=threshold.hell,    col="blue")                                         
abline(v=pass.index, col="red")                                                 
dev.off() 

元ネタ

以下の2冊に元ネタの「羊飼いとオオカミ」(オオカミがきたぞーって嘘をつく少年のアレ)の例が載っています。これを参考にしました。1のほうがやわらかい日本語で書かれていて読みやすいと思います。

1. 入門ベイズ統計—意思決定の理論と発展
2. 意思決定の基礎 (シリーズ意思決定の科学)

参考文献: ちょびっツ 1 (ヤングマガジンコミックス)(CLAMP) きっと、ちぃにはベイズ意思決定回路が実装されるに違いない。